人工生命:人工知能に疲れた者たちのワンダーランドアンケートに答えを求める、という怠慢について

2016年08月11日

フーリエ変換と1/fゆらぎ

かつて「1/fゆらぎ」というブームがあった。
自然界に見られる「ここちよいゆらぎ」というものがみなこの1/fゆらぎである、ということから、この1/fゆらぎの風を人工的に作る扇風機などが登場した。そしてブームはあっという間に終わった。

「あらゆる形状の波も正弦波の合成によって作り出すことができる」ということを前提にしたものがフーリエ変換である。
あらゆる波長と振幅を持った正弦波を何重にも重ねることによって、どのような形をも表すことができる、というのである。

「どのような形であっても正弦波の合成によって表すことができる」ということは、逆に言えばあらゆる形は複数の正弦波に還元できる、ということである。
これを「スペクトル解析」という。
 

スペクトル解析は、周波数を横軸、振幅を縦軸にとったグラフによって、対象となるある波がどういう正弦波を含んでいるか、というものを表す。

fourier1
ここで、あらゆる周波数を同じ振幅で含んでいるものはいわゆる「デタラメ」な形となる。
音声で言えばホワイトノイズ(FMラジオでどの局にもあっていない時に聴こえる「サー」という音)。
fourier2
このときのグラフとしての傾きは、上図の緑の線で表したように、水平線になる。つまり傾き=0。
この波はあらゆる周波数を同じ大きさだけ持っているということで、とにかくデタラメなものである。カオス状態。

一方、あるひとつの周波数だけを持っているものは、ひとつの正弦波だけを持つ単調なものになる。
音で言えばまさに正弦波。「ぽー」とだけ聴こえる音。
fourier3
グラフの傾きとしては上図の緑の線のように、垂直線になる。つまり傾き=∞。
これは波としてはもっとも単調なものである。

自然界に存在する波をスペクトル解析すると、普通は周波数が低い要素ほど振幅が大きく、周波数が高くなるほど振幅は激減し、一般的には下図のような分布となる。
fourier5
これは指数関数のグラフである。
縦軸が(この図では振幅が)爆発的増加あるいは現象をする時に、対数グラフを用いることがある。
対数グラフは、縦軸の値を対数(log)で表すことで、値が大きくなるほど変化が小さく、値が小さくなるほど変化を大きく表すものである。(そこで表すものによって、横軸も対数で表現する「両対数グラフ」というものもある)

自然界に見られる波のスペクトル分布を対数グラフで表すと、だいたい下図のよな、傾きがマイナスの一次関数のようになる。
fourier4
これを先ほどの、「傾き0=ホワイトノイズ、デタラメ/傾き=∞、単正弦波、退屈」というものの間にあるもの、と考える。
対数グラフに描いた時に、傾きaとなるグラフは、aを指数とした指数関数である。
つまり、対数グラフに描いたときに傾きがマイナスaの一次関数に見えるものは、y=xの-a乗、つまりy=1/axのグラフである、ということになる。
このとき、a=1であれば、つまり傾きが-1となればy=1/xとなる。
これが「1/fゆらぎ」と呼ばれるものである。これはxを、周波数を表すfで置き換えたものだ。 

1/fゆらぎが傾き-1である、ということは、角度0°すなわち傾き=0:ホワイトノイズ、デタラメと、角度90°すなわち傾き=∞:単正弦波、退屈のちょうど中間にアルものである。

デタラメと退屈のちょうど中間をいくスペクトル分布を持つ1/fゆらぎがもっとも人間にとって心地よく、自然界にもたくさん見られるものである、といわれている。
この1/fが人間にとって心地よいということの科学的根拠については様々なことが言われているが、これはスペクトル解析ができるようになった以降の現代における「黄金比率」のようなものである、と考えるべきものか。
黄金比率についてもその比率を持った形状が最も美しい、ということの科学的根拠は解明されていない、という意味で。 

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myinnerasia at 08:07│Comments(0)メタロジック 

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